【解説】コンデンサの計算方法と原理

電気回路

抵抗と来たら次はコンデンサですよね。電磁気すっ飛ばしてコンデンサとは如何なものか、と野次が飛んできそうですが、まぁそういった原理的な部分は後で学べば良いのです。コンデンサというゴールが見えた上で、原理について学んだ方が吸収は早いと思ったりしています。

その点高校物理では電磁気のクーロンの法則から学ぶので、いまいち何に使えるのか分かりませんよね。頭ごなしに教えられても吸収は良くないです。と、私の経験則をもとに、今後もゴールが先に見えとるやないかい勉強法で進めて行きます。

今回はコンデンサ直列と並列の計算方法と、その他少々のみ解説します。

コンデンサの容量の計算方法

ずばり抵抗の直列並列の計算の逆です。

本当にそのままの意味でして、抵抗の計算方法を覚えているならほとんど覚える事はありません。とは言え一応例題も示します。

  • 並列コンデンサの計算

はいこちらの容量、先程書いた通り合成抵抗の場合の逆なので4μFになります。

並列の場合、C1+C2+·····と、並列になっているだけコンデンサの容量を足していくだけです。

  • 直列コンデンサの計算

抵抗の計算の逆なので、直列の場合は

1/C=1/C1+1/C2+·····

となります。

なので1/C=1/2+1/2=2/2

逆数にして2/2なので答えは1μFというわけです。

どうでしょうか。合成抵抗の計算方法を知っていれば簡単な計算式です。

なぜその式になるのか

コンデンサの仕組み

まずコンデンサの合成容量の式が合成抵抗の式と逆になるのは、たまたまです。なんの関連性もありません。抵抗の逆の部品ってコンデンサっぽいよね、とかそういう感覚的な話ではなく、原理的な計算式から導かれるものです。

以下の画像はコンデンサの原理を解説する時によく使われる、並行板コンデンサと呼ばれる単純なコンデンサの図みたいなものです。

色々アルファベットが書いてありますが、何のことはありません。新しい要素はεという3の逆みたいなやつだけです。

Sが面積、dが距離です。

それで問題のεはイプシロンと読み、コンデンサの極板間に入っている絶縁体の誘電率を表すものです。

まぁよく分からないと思うので、身近なコンデンサに例えてみます。

下敷きと髪の毛を擦った後金属に触れるとバチっとなりますが、これもコンデンサみたいなものです。電子部品で言うところのコンデンサとの違いは、電荷の移動方法が擦り合わせるか、電池だったり電源アダプタを使うかの違いだけです。

これらを並行板コンデンサに当てはめると、Sと書いてある上の板が下敷き、下側の板が髪の毛、εは下敷きを引き離して髪が持ち上がった時の、その間にある空気です。

以下の画像は先ほどの並行板コンデンサを充電した時の図です。上の極板にはプラス電荷が帯電し、下の極板にはマイナス電荷が帯電しています。

ファイル:平行板コンデンサー 電場.svg
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/04/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E6%9D%BF%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%B3%E3%82%B5%E3%83%BC_%E9%9B%BB%E5%A0%B4.svg

勿論充電する前は極板の電荷は空っぽなわけで、そこに電池なりを繋ぐとその空きを満たそうと電気が流れていくわけです。これが充電です。EやらVは今回は触れずにまた今度解説します。

ここからはぜひ実験でもしてみて欲しいところですが、下敷きと髪の毛を離していくとある程度髪の毛は引っ張られていきますが、離しすぎると髪の毛は持ち上がらなくなりますよね。

つまり離すほど力は弱くなっていくわけです。

次に髪の毛一本と、ポリ塩化ビニルの切れ端、例えばDVDとかの包装フィルムを擦り合わせてみてください。多分引っ付くには引っ付くと思いますが、下敷きと頭を擦り合わせた時より引き離すとすぐに離れてしまうはずです。

これは極板の面積が大きいほど力が強くなる、要するに髪の毛と下敷きの面積が多いほど引き合うと空が強くなるという事になります。

これらの現象を色々実験した結果、コンデンサの容量Cは

C=εS/d

であるという関係式が発見されました。

εは先ほど説明した通り、極板間にある物質を指し、その物質がどれくらいの誘電率なのかによってコンデンサの容量が決まるという事です。

上の式ではεを掛けているので誘電率が高いほどコンデンサの容量は増えていくわけです。

そして残ったS/dという式。

εを無視すると、極板の面積Sを極板間の距離dで割るとコンデンサの容量が出てくるよという式です。

結構簡単ではないでしょうか。

面積Sが大きいほど容量は増え、dが大きいほど容量は少なくなる、と先ほどの実験内容の通りの式です。

そんなわけでコンデンサの容量は極板の面積Sと、極板の距離d、その間にある物質の誘電率εで決まるぞ、という話でした。

ちなみに大容量コンデンサを実現するならεとSを大きくし、dを小さくしたいわけですが、Sを大きくするとサイズが大きくなってしまいます。そこでεを大きくし、dを小さくするのが都合がいいわけですが、その工夫をしたのが電解コンデンサだったりします。

直列と並列

ある程度コンデンサの仕組みを学んだので、前提知識はもう大丈夫でしょう。

では回路にした時なぜあの式になるのか。簡単な回路図と共に解説していきます。

拡大して気づきましたがC1とC2逆ですね。まぁ良いでしょう。

それで、この回路は序盤の例題で出した直列コンデンサの図です。

小さいですが、2μの横にd距離が書いてあります。

実はこの直列コンデンサは、書き方によってはこうも書けます。

実質極板は繋がっていると見て良いわけです。するとどうでしょう。二つのコンデンサ間の銅線と極板はほぼ無視できるので、極板間の距離は二倍と見ることが出来ます。

ということは、距離だけが増えているので、

εS/d1+d2=容量

となりますよね。

仮にSが1、dも1だとすると、

ε1/1+1=ε1/2=容量

と、Sが2で割られるので容量は半分になる事が分かります。

分かりやすくなるか微妙ですが、分解すると、容量=1/2×εS/dとなるので、εS/d=Cの通り代入すると、1/2×Cと、ちゃんとCが半分になっていますね。

そんな調子で今度は並列にすると面積Sが増えるので、そりゃ並列にすれば容量は増えるわな、とご納得いただけたでしょうか。

まぁSを足すかdを足すかの違いで、似たような計算しかしないので並列の詳細な計算式は大丈夫でしょう。

こんなところで今日は終わりにします。

前回に続きコンデンサについて解説してみましたが、やはり上辺だけ撫でたに過ぎません。

もっと原理まで知りたい方は今後の記事も読み進めてみてください。

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